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1. Primeiros Passos com o Sympy

1.1. Instalação

Você possivelmente deve estar se perguntando como instalar o Sympy. Se você já utilizou algum outro módulo em Python, possivelmente imaginou em instalá-lo utilizando o pip (software que pedimos que garantisse sua sua instalação no capítulo 0).

Contudo, se você utiliza está utilizando notebooks com o Anaconda (nossa recomendação para esse módulo), o Sympy já está instalado, basta carregá-lo.

Caso esteja desenvolvendo em outro ambiente, uma forma de instalar é com o pip, por exemplo:

pip install sympy

1.2. Carregando o Módulo

Para utilizar os comandos do Sympy de forma nativa em nossos scripts, precisamos importá-lo globalmente. Para isso utilizamos as palavras-chave import e from. Isso não foi abordado no capítulo anterior devido a sua complexidade, mas essa é uma forma de importar módulos em Python.

Portanto, basta criar e executar a seguinte chunk:

from sympy import *
init_printing(use_unicode=True, use_latex='mathjax') # Para imprimir LaTeX

O * significa que estamos importando o módulo por completo.

1.3. Trabalhando com expressões matemáticas

Como o Sympy tem como objetivo o cálculo simbólico, tudo é baseado a partir dos simbólos. Ou seja, as nossas querídas variáveis (como \(x\), \(y\), e \(z\)) sendo interpretadas com suas propriedades matemáticas.

Portanto, para utilizá-las, precisamos criar seus símbolos. Por enquanto, vamos utilizar somente o \(x\). Então, para o x do Python significar a variável \(x\) fazemos:

x = symbols('x')
x
\[\displaystyle x\]

Note que nossa saída matemática será processada por um compilador \(\LaTeX\) para facilitar a leitura.

No caso, você pode utilizar x como um número, e as expressões aparecerão normalmente (sem igualdade).

x**2 - 4*x + 3
\[\displaystyle x^{2} - 4 x + 3\]

Caso você queira a solução de uma expressão que seja igual a 0 (ou suas raízes, em outras palavras), em respeito a uma variável, você pode usar a função solve(). Ela recebe dois parâmetros obrigatórios, sua expressão e a variável que você quer a solução.

solve(x**2 - 4*x + 3, x)
\[\displaystyle \left[ 1, \ 3\right]\]
solve(sqrt(x) - (x/2),x)
\[\displaystyle \left[ 0, \ 4\right]\]

Inclusive, caso queira uma resposta como costumamos escrever no papel, ou seja, em forma de conjunto e suas condições, podemos utilizar o solveset(). A maior diferença é que ele pode receber o conjunto numérico onde você quer trabalhar através do parâmetro domain. Na maioria das vezes podemos utilizar domain=S.Reals ou domain=S.Complexes.

solveset(x**2 - 4*x  +20,x, domain=S.Reals)
\[\displaystyle \emptyset\]
solveset(x**2 - 4*x  +20,x, domain=S.Complexes)
\[\displaystyle \left\{2 - 4 i, 2 + 4 i\right\}\]
solveset(tan(x), x, domain=S.Reals)
\[\displaystyle \left\{2 n \pi\; |\; n \in \mathbb{Z}\right\} \cup \left\{2 n \pi + \pi\; |\; n \in \mathbb{Z}\right\}\]

Vamos criar uma variável para armazenar essa primeira expressão para mostrar outros exemplos

expr = x**2 - 4*x + 3

Podemos achar valores utilizando o método subs(). Novamente, devemos especficiar a variável.

expr.subs(x,2) # Se y = expr, esse é o valor de y quando x = 2.
\[\displaystyle -1\]
expr.subs(x,1)
\[\displaystyle 0\]

Se tivermos uma expressão numérica não-inteira e quisermos achar a solução em um ponto flutuante (float), podemos usar o método evalf().

my_sqrt = sqrt(8)
my_sqrt
\[\displaystyle 2 \sqrt{2}\]
my_sqrt.evalf()
\[\displaystyle 2.82842712474619\]

Como viu acima, possivelmente há uma função do SymPy que represente uma operação ou função matemática. Por exemplo, temos sqrt(), log(), exp(), sin() e etc. Quando sentir necessidade de utilizar uma dessa, tente antes de consultar a documentação. Caso não consiga “adivinhar”, faça uma consulta que, com toda certeza, haverá uma função que te atenderá.

Existem algumas funções que “fazem Álgebra” por si só. Veja alguns exemplos:

# Simplifica
simplify((x**2 + x)/x)
\[\displaystyle x + 1\]
# Fatora
factor(1-1/x)
\[\displaystyle \frac{x - 1}{x}\]
# Expande
expand((x**2 + 3*x)**3)
\[\displaystyle x^{6} + 9 x^{5} + 27 x^{4} + 27 x^{3}\]
# Agrupa potências de uma variável (que vai como segundo parâmetro)
collect(x**2 + 4*x - 2*x**2 + x -20 + x**3 + 2, x)
\[\displaystyle x^{3} - x^{2} + 5 x - 18\]
# Separa fração em frações parciais
apart((x**2 + 8*x-18)/(x**3 + 3*x**2))
\[\displaystyle - \frac{11}{3 \left(x + 3\right)} + \frac{14}{3 x} - \frac{6}{x^{2}}\]

Além desses principais, ainda há trigsimp() e expand_trig() que simplificam e expandem funções trigonométricas (a partir das identidades de adição de arco). E outras que fazem o mesmo para potências, logaritmos e outros tipos de funções. Nesse caso, acho que vale a pena dar uma olhada na documentação. Elas todas são bem parecidas.

Finalizando esse tópico inicial, temos como substituir uma função em termos de outra. Por exemplo:

sin(x).rewrite(cos)
\[\displaystyle \cos{\left(x - \frac{\pi}{2} \right)}\]
(x**3).rewrite(exp)
\[\displaystyle e^{3 \log{\left(x \right)}}\]

Equações

Ok, nós vimos como utilizar expressões. Mas, como tratamos equações? Como vimos no capítulo anterior = significa atribuição e == é uma operação booleana (ou seja, recebemos True ou False).

Para equações criamos uma classe Eq(). Não se preocupe com a nomenclatura, é só uma forma de criar um objeto do tipo Eq. Para criar esse objeto, passamos dois argumentos: cada lado da equação, respectivamente. Veja:

eq = Eq(x**2, 2)
eq
\[\displaystyle x^{2} = 2\]

Podemos utilizar o mesmo método para encontrar suas raízes.

solve(eq,x)
\[\displaystyle \left[ - \sqrt{2}, \ \sqrt{2}\right]\]

Igualdade

Como verificar igualdade entre duas expressões? O == só servirá para expressões identicas (não somente em valor, mas também nos termos expressos). Para isso, utilizamos o método equals(). Veja:

expr_1 = sin(x)**2

expr_2 = .5*(1 -cos(2*x))

Como veremos abaixo, pelo == as expressões seriam diferentes.

expr_1 == expr_2

False

Vejamos pelo método equals():

expr_1.equals(expr_2)

True

Podemos visualizar a igualdade da seguinte forma:

Eq(expr_1,expr_2)
\[\displaystyle \sin^{2}{\left(x \right)} = 0.5 - 0.5 \cos{\left(2 x \right)}\]

Sistemas de Equações

Podemos, também utilizando solve() encontrar as soluções de um sistema de equações. Basta passar uma lista com as equações como parâmetro.

y, z = symbols('y z') # Criando o y simbólico
Eqs = []
Eqs.append(Eq(3*x - 3*y, 20))
Eqs.append(Eq(-7*x + 9*y, -10))
solve(Eqs, x, y)
\[\displaystyle \left\{ x : 25, \ y : \frac{55}{3}\right\}\]

Caso esteja tentando resolver um sistema linear (como o acima), é possível utilizar o linsolve().

linsolve(Eqs, x, y)
\[\displaystyle \left\{\left( 25, \ \frac{55}{3}\right)\right\}\]
Eqs = []
Eqs.append(Eq(3*x - 3*y + 2*z, 20))
Eqs.append(Eq(-7*x + 9*y -4*z, -10))
Eqs.append(Eq(-7*x + 9*y + 5*z, 40))
linsolve(Eqs, x, y,z)
\[\displaystyle \left\{\left( \frac{175}{9}, \ \frac{445}{27}, \ \frac{50}{9}\right)\right\}\]
Eqs = []
Eqs.append(Eq(x**2 + y**2, 18)) #  Elipse de centro (0,0) e R^2 = 18
Eqs.append(Eq(x, y)) # Reta identidade
nonlinsolve(Eqs, x, y) # Sistema não-linear (solve também serve). No nosso caso, 2 pontos de intersecção.
\[\displaystyle \left\{\left( -3, \ -3\right), \left( 3, \ 3\right)\right\}\]

1.4. Matrizes

É bem trivial trabalhar com matrizes no Sympy. De modo geral, basta criar um objeto a partir da classe Matrix. E passamos uma lista de listas, sendo cada uma das listas uma linha. Veja:

Matrix([[1,2,3],[2,3,1]])
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\end{matrix}\right]\end{split}\]

E podemos manipulá-las normalmente, com as operações comuns. Além disso, há algumas outras operações especiais.

A = Matrix([[1,2,3],[2,3,1]])
B = Matrix([[3,2], [2,2], [1,4]])
A, B
\[\begin{split}\displaystyle \left( \left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\end{matrix}\right], \ \left[\begin{matrix}3 & 2\\2 & 2\\1 & 4\end{matrix}\right]\right)\end{split}\]
A * B # Multiplicação
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}10 & 18\\13 & 14\end{matrix}\right]\end{split}\]
B.T # Transpor
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}3 & 2 & 1\\2 & 2 & 4\end{matrix}\right]\end{split}\]
A + B.T # Soma
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}4 & 4 & 4\\4 & 5 & 5\end{matrix}\right]\end{split}\]
A.row(1) # Começa em 0
\[\displaystyle \left[\begin{matrix}2 & 3 & 1\end{matrix}\right]\]
B.col(0) # Também começa em 0
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}3\\2\\1\end{matrix}\right]\end{split}\]
B = B.col_insert(2,Matrix([2,3,2])) # Insere Coluna
B
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}3 & 2 & 2\\2 & 2 & 3\\1 & 4 & 2\end{matrix}\right]\end{split}\]
B**-1
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}\frac{4}{7} & - \frac{2}{7} & - \frac{1}{7}\\\frac{1}{14} & - \frac{2}{7} & \frac{5}{14}\\- \frac{3}{7} & \frac{5}{7} & - \frac{1}{7}\end{matrix}\right]\end{split}\]

1.5. Exercícios

Utilizando o que aprendeu nesse capítulo, tente resolver os seguintes exercícios:

  1. Encontre as raízes de cada uma das expressões abaixo. Depois encontre um par \((x,y)\) para cada:

\[x^3 - 8x^2 + 4x + 3 \]
\[\sin(x) + 2\cos(x)\]
\[\log\left|\dfrac{x^2 - x}{2}\right|\]
\[e^{-x^3 + 5x^2 -x} -1\]

  1. Encontre as soluções das equações abaixo:

\[x^4 - 4x^3 + x^2 - 30 = -x^2 + x - 40\]
\[2^{x^2 -x} = 3^x\]
\[\log\left|x^3 - 2x^2 +x\right| = \log\left|x^2 + 6x\right|\]

  1. Verifique se as igualdades são verdadeiras:

\[\Gamma\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\]
\[\sin(2x^2) - \cos(x^2 +x) = \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x^{2} \right)} + 2 \sin{\left(x^{2} \right)} \cos{\left(x^{2} \right)} - \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x^{2} \right)}\]
\[(x^2 -3x)(2x^4 + x^3 - x)(-4x^2)= 8 x^{8} + 20 x^{7} + 12 x^{6} + 4 x^{5} - 12 x^{4}\]

  1. Encontre as soluções do sistema:

\[\begin{split}\begin{cases}4x - 3y + 2z = 60\\ (x - 10)^2 + y^2 + z^2 = 72\\ 2x + 9y +z = 20 \end{cases}\end{split}\]
2. Básicos da Programação em Python 2. Aplicações em Cálculo Diferencial e Integral